Что является разверткой конуса

Что это - развертка конуса и как ее построить? Формулы и пример решения задачи

Каждый школьник слышал о круглом конусе и представляет, как выглядит эта объемная фигура. В данной статье дается определение развертки конуса, приводятся формулы, описывающие ее характеристики, а также описывается способ ее построения с помощью циркуля, транспортира и линейки.

Круглый конус в геометрии

Приведем геометрическое определение этой фигуры. Круглым конусом называется поверхность, которая образована прямыми отрезками, соединяющими все точки некоторой окружности с одной-единственной точкой пространства. Эта единственная точка не должна принадлежать плоскости, в которой лежит окружность. Если вместо окружности взять круг, то указанный способ также приводит к получению конуса.

Круг называется основанием фигуры, его окружность - это директриса. Отрезки, соединяющие точку с директрисой, называются генератрисами или образующими, а точка, где они пересекаются - это вершина конуса.

Круглый конус может быть прямым и наклонным. Обе фигуры показаны ниже на рисунке.

Разница между ними заключается в следующем: если перпендикуляр из вершины конуса падает точно в центр окружности, то конус будет прямым. Для него перпендикуляр, который называется высотой фигуры, является частью его оси. В случае конуса наклонного высота и ось образуют некоторый острый угол.

Ввиду простоты и симметричности фигуры далее будем рассматривать свойства только прямого конуса с круглым основанием.

Получение фигуры с помощью вращения

Перед тем как перейти к рассмотрению развертки поверхности конуса, полезно узнать, как с помощью вращения можно получить эту пространственную фигуру.

Предположим, что у нас имеется прямоугольный треугольник со сторонами a, b, c. Первые две из них являются катетами, c - это гипотенуза. Поставим треугольник на катет a и начнем его вращать вокруг катета b. Гипотенуза c при этом опишет коническую поверхность. Эта простая методика получения конуса изображена ниже на схеме.

Очевидно, что катет a будет радиусом основания фигуры, катет b - его высотой, а гипотенуза c соответствует образующей круглого прямого конуса.

Вид развертки конуса

Как можно догадаться, конус образован двумя типами поверхностей. Одна из них - это плоский круг основания. Предположим, что он имеет радиус r. Вторая поверхность является боковой и называется конической. Пусть ее образующая будет равна g.

Если у нас имеется бумажный конус, то можно взять ножницы и отрезать от него основание. Затем, коническую поверхность следует разрезать вдоль любой образующей и развернуть ее на плоскости. Таким способом мы получили развертку боковой поверхности конуса. Две поверхности вместе с исходным конусом показаны на схеме ниже.

Внизу справа изображен круг основания. По центру показана развернутая коническая поверхность. Оказывается, что она соответствует некоторому круговому сектору круга, радиус которого равен длине образующей g.

Угол и площадь развертки

Теперь получим формулы, которые по известным параметрам g и r позволяют рассчитать площадь и угол развертки конуса.

Очевидно, что дуга кругового сектора, показанного выше на рисунке, имеет длину, равную длине окружности основания, то есть:

l = 2*pi*r.

Если бы весь круг радиусом g был построен, то его бы длина составила:

L = 2*pi*g.

Поскольку длина L соответствует 2*pi радианам, тогда угол, на который опирается дуга l, можно определить из соответствующей пропорции:

L ==> 2*pi;
l ==> φ.

Тогда неизвестный угол φ будет равен:

φ = 2*pi*l/L.

Подставляя выражения для длин l и L, приходим к формуле для угла развертки боковой поверхности конуса:

φ = 2*pi*r/g.

Угол φ здесь выражен в радианах.

Для определения площади S_b кругового сектора воспользуемся найденным значением φ. Составляем еще одну пропорцию, только уже для площадей. Имеем:

2*pi ==> pi*g²;
φ ==> S_b.

Откуда следует выразить S_b, а затем, подставить значение угла φ. Получаем:

S_b = φ*g²*pi/(2*pi) = 2*pi*r/g*g²/2 = pi*r*g.

Для площади конической поверхности мы получили достаточно компактную формулу. Величина S_b равна произведению трех множителей: числа пи, радиуса фигуры и ее образующей.

Тогда площадь всей поверхности фигуры будет равна сумме S_b и S_o (площадь круглого основания). Получаем формулу:

S = S_b + S_o = pi*r*(g + r).

Построение развертки конуса на бумаге

Для выполнения этой задачи понадобится лист бумаги, карандаш, транспортир, линейка и циркуль.

В первую очередь начертим прямоугольный треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 5 см. Его вращение вокруг катета в 3 см даст искомый конус. У фигуры r = 3 см, h = 4 см, g = 5 см.

Построение развертки начнем с рисования циркулем окружности радиусом r. Ее длина будет равна 6*pi см. Теперь рядом с ней нарисуем еще одну окружность, но уже радиусом g. Ее длина будет соответствовать 10*pi см. Теперь нам нужно от большой окружности отрезать круговой сектор. Его угол φ равен:

φ = 2*pi*r/g = 2*pi*3/5 = 216^o.

Теперь откладываем транспортиром этот угол на окружности с радиусом g и проводим два радиуса, которые будут ограничивать круговой сектор.

Таким образом, мы построили развертку конуса с указанными параметрами радиуса, высоты и образующей.

Пример решения геометрической задачи

Дан круглый прямой конус. Известно, что угол его боковой развертки равен 120^o. Необходимо найти радиус и образующую этой фигуры, если известно, что высота h конуса равна 10 см.

Задача не является сложной, если вспомнить, что круглый конус - это фигура вращения прямоугольного треугольника. Из этого треугольника следует однозначная связь между высотой, радиусом и образующей. Запишем соответствующую формулу:

g² = h² + r².

Вторым выражением, которое следует использовать при решении, является формула для угла φ:

φ = 2*pi*r/g.

Таким образом, мы имеем два уравнения, связывающих две неизвестные величины (r и g).

Выражаем из второй формулы g и подставляем результат в первую, получаем:

g = 2*pi*r/φ;
h² + r² = pi²*r²/φ² =>
r = h /√( pi²/φ² - 1).

Угол φ = 120^o в радианах равен 2*pi/3. Подставляем это значение, получаем конечные формулы для r и g:

r = h /√8;
g =3*h /√8.

Остается подставить значение высоты и получить ответ на вопрос задачи: r ≈ 3,54 см, g ≈ 10,61 см.

Элементы конуса — урок. Геометрия, 11 класс.

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник.

$APB$ — осевое сечение конуса.

&angmsd;PAO=&angmsd;PBO — углы между образующими и основанием конуса.

Для конуса построим развёртку боковой поверхности. Это круговой сектор.

Сектор имеет длину дуги, равную длине окружности в основании конуса 2πR, угол развёртки боковой поверхности α.

В конусе нельзя обозначить угол развёртки.
На развёртке конуса нельзя обозначить высоту и радиус конуса.

Образующая конуса $l$ является радиусом сектора.

Таким образом, боковая поверхность конуса является частью полного круга с радиусом $l$:

Sбок.=πl2⋅α360°.

Длина дуги также является частью длины полной окружности с радиусом $l$, но в то же время длина дуги — это длина окружности основания конуса с радиусом $R$.

Сравним выражения длины дуги и выразим α через $R$:

2πl⋅α360°=2πR;α=2πR⋅360°2πl=R⋅360°l.

Получаем ещё одну формулу боковой поверхности конуса; не используется угол развёртки боковой поверхности:

Sбок.=πl2⋅R⋅360°360°⋅l=πRl.

Усечённый конус

Если провести сечение конуса плоскостью, перпендикулярной оси конуса, то эта плоскость разбивает конус на две части, одна из которых — конус, а другую часть называют усечённым конусом.

Также усечённый конус можно рассматривать как тело вращения, которое образовалось в результате вращения прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны (которая перпендикулярна к основанию трапеции) или в результате вращения равнобедренной трапеции вокруг высоты, проведённой через серединные точки оснований трапеции.

OO1 — ось конуса и высота конуса.

AA1 — образующая конуса.

Круги с центрами $O$ и O1 — основания усечённого конуса.

$AO$ и A1O1 — радиусы оснований конуса.

Осевое сечение конуса — это сечение конуса плоскостью, которая проходит через ось OO1 конуса.

Осевое сечение конуса — это равнобедренная трапеция.

AA1B1B — осевое сечение конуса.

Боковая поверхность определяется как разность боковой поверхности данного конуса и отсечённого конуса:

Sбок.=πR⋅PA−πr⋅PA1=πR⋅PA1+AA1−πr⋅PA1==πR⋅PA1+πR⋅AA1−πr⋅PA1==πR⋅l+πR−πr⋅PA1.

Так как ΔPAO∼ΔPA1O1, то стороны их пропорциональны:

PAPA1=Rr;l+PA1PA1=Rr;r⋅l+PA1=R⋅PA1;rl=R⋅PA1−r⋅PA1;PA1⋅R−r=rl;PA1=rlR−r.

Таким образом получаем формулу боковой поверхности усечённого конуса, которая содержит радиусы оснований и образующую усечённого конуса:

Sбок.=πRl+π⋅PA1⋅R−r=πRl+π⋅rlR−r⋅R−r;Sбок.=πRl+πrl=πl⋅R+r.

Развертка боковой поверхности. Построение развертки конуса

Разверткой поверхности многогранника называют плоскую фигуру, полученную в результате последовательного совмещения с плоскостью чертежа всех граней многогранника.

Рассмотрим построение разверток некоторых простейших тел.

Начнем с наиболее характерного объема - куба (рис. 4). У куба все ребра и грани равны, боковая поверхность состоит из четырех равных квадратов, основания куба - два квадрата, тождественные квадратам боковой поверхности. Построим на листе развертку боковой поверхности и граней основания. Затем по металлической линейке делаем надрезы глубиной примерно на 1/3 листа ватмана или тонкого картона. Затем развертку вырезаем. Для того чтобы собрать полученную развертку при достаточной плотности бумаги, грани можно склеить встык друг с другом.

Рис. 4

Однако при недостаточном опыте в макетировании лучше использовать следующий прием. На развертке у каждой грани куба делают отвороты краев, т.е. откладывают от каждой стороны полоски шириной 3-5 мм. Затем делают с наружной стороны надрезы макетным ножом по металлической линейке по линиям сгиба ребер. После этого вырезают развертку вместе с отворотами, осторожно сгибают по ребрам и надрезанным отворотам, аккуратно смазывают отгибы клеем ПВА и прижимают их к противоположенным граням. При достаточной аккуратности выполнения и точности вычерчивания развертки макет получится качественным.

Развертка поверхности прямой призмы представляет собой плоскую фигуру, составленную из боковых граней - прямоугольников и двух равных между собой многоугольников оснований. Для примера взята правильная шестиугольная призма (рис. 5, а). Боковые грани призмы представляют собой равные между собой прямоугольники шириной а и высотой Н, а основания - правильные шестиугольники со стороной, равной а. Так как размеры граней известны, построение развертки нетрудно выполнить. Для этого на горизонтальной прямой последовательно откладывают шесть отрезков, равных стороне основания а шестиугольника, т. е. 5а. Из полученных точек восстанавливают перпендикуляры длиной, равной высоте призмы Н. Соединяя полученные отрезки, проводят вторую горизонтальную прямую. Полученный прямоугольник (Н/6а) является разверткой боковой поверхности призмы. Затем на одной оси пристраивают фигуру оснований - два шестиугольника со сторонами, равными а. Контур обводят сплошной основной линией, а линии сгиба - штрихпунктирной тонкой с двумя точками.

С помощью подобного построения можно вычертить развертки прямых призм с любой фигурой в основании. Разница будет лишь в количестве и ширине граней боковой поверхности.

Аналогично строится и развертка поверхности цилиндра (рис. 5, б). Только ширина ее равняется pd (длине окружности основания).

Развертка поверхности правильной пирамиды представляет собой плоскую фигуру, составленную из боковых граней - равнобедренных или равносторонних треугольников и правильного многоугольника основания. Для примера взята правильная четырехугольная пирамида (рис. 6, а). Решение задачи осложняется тем, что неизвестна величина боковых граней пирамиды, так как их ребра не параллельны ни одной из плоскостей проекций. Поэтому начинают построение с определения величины ребра SA способом вращения (см. рис. 6, в). Определив длину наклонного ребра SA, равную s"a¢ 1 , проводят из произвольной точки s, как из центра, дугу окружности радиусом s"a¢ 1 . По этой дуге откладывают четыре отрезка, равных стороне основания пирамиды, которое на чертеже спроецировалось в истинную величину. Найденные точки соединяют прямыми с точкой s. Получив, таким образом, развертку боковой поверхности, пристраивают к основанию одного из треугольников квадрат, равный основанию пирамиды.

Развертка поверхности прямого кругового конуса представляет собой плоскую фигуру, состоящую из кругового сектора и круга (рис. 6, б).

Построение выполняют следующим образом. Проводят осевую линию и из точки, взятой на ней, как из центра, очерчивают радиусом R 1 , равным образующей конуса s"a", дугу окружности. Затем подсчитывают угол сектора по формуле a = 360° × R/L, где R - радиус окружности основания конуса; L- длина образующей боковой поверхности конуса. В примере a = 360°× 15/38 = 142,2°.

Этот угол строят симметрично относительно осевой линии с вершиной в точке S. К полученному сектору пристраивают круг с центром на осевой линии и диаметром, равным диаметру основания конуса.

Рис. 6. Построение разверток поверхностей пирамиды и конуса

Развертка поверхности конуса - это плоская фигура, полученная путем совмещения боковой поверхности и основания конуса с некоторой плоскостью.

Варианты построения развертки:

Развертка прямого кругового конуса

Развертка боковой поверхности прямого кругового конуса представляет собой круговой сектор, радиус которого равен длине образующей конической поверхности l, а центральный угол φ определяется по формуле φ=360*R/l, где R – радиус окружности основания конуса.

В ряде задач начертательной геометрии предпочтительным решением является аппроксимация (замена) конуса вписанной в него пирамидой и построение приближенной развертки, на которую удобно наносить линии, лежащие на конической поверхности.

Алгоритм построения

Вписываем в коническую поверхность многоугольную пирамиду. Чем больше боковых граней у вписанной пирамиды, тем точнее соответствие между действительной и приближенной разверткой.
Строим развертку боковой поверхности пирамиды способом треугольников . Точки, принадлежащие основанию конуса, соединяем плавной кривой.

Пример

На рисунке ниже в прямой круговой конус вписана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF, и приближенная развертка его боковой поверхности состоит из шести равнобедренных треугольников – граней пирамиды.

Рассмотрим треугольник S 0 A 0 B 0 . Длины его сторон S 0 A 0 и S 0 B 0 равны образующей l конической поверхности. Величина A 0 B 0 соответствует длине A’B’. Для построения треугольника S 0 A 0 B 0 в произвольном месте чертежа откладываем отрезок S 0 A 0 =l, после чего из точек S 0 и A 0 проводим окружности радиусом S 0 B 0 =l и A 0 B 0 = A’B’ соответственно. Соединяем точку пересечения окружностей B 0 с точками A 0 и S 0 .

Грани S 0 B 0 C 0 , S 0 C 0 D 0 , S 0 D 0 E 0 , S 0 E 0 F 0 , S 0 F 0 A 0 пирамиды SABCDEF строим аналогично треугольнику S 0 A 0 B 0 .

Точки A, B, C, D, E и F, лежащие в основании конуса, соединяем плавной кривой – дугой окружности, радиус которой равен l.

Развертка наклонного конуса

Рассмотрим порядок построения развертки боковой поверхности наклонного конуса методом аппроксимации (приближения).

Алгоритм

Вписываем в окружность основания конуса шестиугольник 123456. Соединяем точки 1, 2, 3, 4, 5 и 6 с вершиной S. Пирамида S123456, построенная таким образом, с некоторой степенью приближения является заменой конической поверхности и используется в этом качестве в дальнейших построениях.
Определяем натуральные величины ребер пирамиды, используя способ вращения вокруг проецирующей прямой: в примере используется ось i, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций и проходящая через вершину S.
Так, в результате вращения ребра S5 его новая горизонтальная проекция S’5’ 1 занимает положение, при котором она параллельна фронтальной плоскости π 2 . Соответственно, S’’5’’ 1 – натуральная величина S5.
Строим развертку боковой поверхности пирамиды S123456, состоящую из шести треугольников: S 0 1 0 6 0 , S 0 6 0 5 0 , S 0 5 0 4 0 , S 0 4 0 3 0 , S 0 3 0 2 0 , S 0 2 0 1 0 . Построение каждого треугольника выполняется по трем сторонам. Например, у △S 0 1 0 6 0 длина S 0 1 0 =S’’1’’ 0 , S 0 6 0 =S’’6’’ 1 , 1 0 6 0 =1’6’.

Степень соответствия приближенной развертки действительной зависит от количества граней вписанной пирамиды. Число граней выбирают, исходя из удобства чтения чертежа, требований к его точности, наличия характерных точек и линий, которые нужно перенести на развертку.

Перенос линии с поверхности конуса на развертку

Линия n, лежащая на поверхности конуса, образована в результате его пересечения с некоторой плоскостью (рисунок ниже). Рассмотрим алгоритм построения линии n на развертке.

Алгоритм

Находим проекции точек A, B и C, в которых линия n пересекает ребра вписанной в конус пирамиды S123456.
Определяем натуральную величину отрезков SA, SB, SC способом вращения вокруг проецирующей прямой. В рассматриваемом примере SA=S’’A’’, SB=S’’B’’ 1 , SC=S’’C’’ 1 .
Находим положение точек A 0 , B 0 , C 0 на соответствующих им ребрах пирамиды, откладывая на развертке отрезки S 0 A 0 =S’’A’’, S 0 B 0 =S’’B’’ 1 , S 0 C 0 =S’’C’’ 1 .
Соединяем точки A 0 , B 0 , C 0 плавной линией.

Развертка усеченного конуса

Описываемый ниже способ построения развертки прямого кругового усеченного конуса основан на принципе подобия.

Вам понадобится

Карандаш Линейка угольник циркуль транспортир Формулы вычисления угла по длине дуги и радиусу Формулы вычисления сторон геомтрических фигур

Инструкция

На листе бумаги постройте основание нужного геометрического тела. Если вам даны паралеллепипед или , измерьте длину и ширину основания и начертите на листе бумаги прямоугольник с соответствующими параметрами. Для построения развертки а или цилиндра вам необходимо радиус окружности основания. Если она не задана в условии, измерьте и вычислите радиус.

Рассмотрите паралеллепипед. Вы увидите, что все его грани расположены под углом к основанию, но параметры этих граней разные. Измерьте высоту геометрического тела и с помощью угольника начертите два перпендикуляра к длине основания. Отложите на них высоту паралеллепипеда. Концы получившихся отрезков соедините прямой. То же самое сделайте с противоположной стороны исходного .

От точек пересечения сторон исходного прямоугольника проведите перпендикуляры и к его ширине. Отложите на этих прямых высоту паралеллепипеда и соедините полученные точки прямой. То же самое сделайте и с другой стороны.

От внешнего края любого из новых прамоугольников, длина которого совпадает с длиной основания, постройте верхнюю грань паралеллепипеда. Для этого из точек пересечеения линий длины и ширины, расположенных на внешней стороне, проведите перпендикуляры. Отложите на них ширину основания и соедините точки прямой.

Для построения развертки конуса через центр окружности основания проведите радиус через любую точку окружности и продолжите его. Измерьте расстояние от основания до вершины конуса. Отложите это расстояние от точки пересечения радиуса и окружности. Отметьте точку вершины боковой поверхности. По радиусу боковой поверхности и длине дуги, которая равняется длине окружности основания, вычислите угол развертки и отложите его от уже проведенное через вершину основания прямой. С помощью циркуля соедините найденную ранее точку пересечения радиуса и окружности с этой новой точкой. Развертка конуса готова.

Для построения развертки пирамиды измерьте высоты ее сторон. Для этого найдите середину каждой стороны основания и измерьте длину перпендикуляра, опущенного из вершины пирамиды к этой точке. Начертив на листе основание пирамиды, найдите середины сторон и проведите к этим точкам перпендикуляры. Соредините полученные точки с точками пересечения сторон пирамиды.

Развертка цилиндра представляет собой две окружности и расположенный между ними прямоугольник, длина которого равна длине окружности, а высота - высоте цилиндра.

Цилиндром (прямым круговым цилиндром) называется тело, состоящее из двух кругов (оснований цилиндра), совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие при параллельном переносе точки этих кругов. Отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей оснований, называются образующими цилиндра.

Вот другое определение:

Цилиндр - тело, которое ограничено цилиндрической поверхностью с замкнутой направляющей и двумя параллельными плоскостями, пересекающими образующие данной поверхности.

Цилиндрическая поверхность - поверхность, которая образуется движением прямой линии вдоль некоторой кривой. Прямую называют образующей цилиндрической поверхности, а кривую линию - направляющей цилиндрической поверхности.

Боковая поверхность цилиндра - часть цилиндрической поверхности, которая ограничена параллельными плоскостями.

Основания цилиндра - части параллельных плоскостей, отсекаемые боковой поверхностью цилиндра.

Рис.1 мини

Цилиндр называется прямым (См.Рис.1 ), если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований. В противном случае цилиндр называется наклонным .

Круговой цилиндр - цилиндр, основания которого являются кругами.

Прямой круговой цилиндр (просто цилиндр) – это тело, полученное при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон. См.Рис.1 .

Радиус цилиндра – радиус его основания.

Образующая цилиндра - образующая цилиндрической поверхности.

Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями оснований. Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований. Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра, называется осевым сечением .

Ось цилиндра параллельна его образующей и является осью симметрии цилиндра.

Плоскость, проходящая через образующую прямого цилиндра и перпендикулярная осевому сечению, проведенному через эту образующую, называется касательной плоскостью цилиндра . См.Рис.2 .

Развёртка боковой поверхности цилиндра - прямоугольник со сторонами, равными высоте цилиндра и длине окружности основания.

Площадь боковой поверхности цилиндра - площадь развёртки боковой поверхности. $$S_{бок}=2\pi\cdot rh$$ , где h – высота цилиндра, а r – радиус основания.

Площадь полной поверхности цилиндра - площадь, которая равна сумме площадей двух оснований цилиндра и его боковой поверхности, т.е. выражается формулой: $$S_{полн}=2\pi\cdot r^2 + 2\pi\cdot rh = 2\pi\cdot r(r+h)$$ , где h – высота цилиндра, а r – радиус основания.

Объем всякого цилиндра равен произведению площади основания на высоту: $$V = S\cdot h$$ Объем круглого цилиндра : $$V=\pi r^2 \cdot h$$ , где (r - радиус основания).

Призма есть частный вид цилиндра (образующие параллельны боковым ребрам; направляющая - многоугольник, лежащий в основании). С другой стороны, произвольный цилиндр можно рассматривать как выродившуюся («сглаженную») призму с очень большим числом очень узких граней. Практически цилиндр неотличим от такой призмы. Все свойства призмы сохраняются и в цилиндре.

16.1. Чертежи разверток поверхностей призм и цилиндров .

Для изготовления ограждений станков, вентиляционных труб и некоторых других изделий вырезают из листового материала их развертки.

Развертка поверхностей любой прямой призмы представляет собой плоскую фигуру, составленную из боковых граней - прямоугольников и двух оснований - многоугольников.

Например, у развертки поверхностей шестиугольной призмы (рис. 139, б) все грани - равные между собой прямоугольники шириной а и высотой h, а основания - правильные шестиугольники со стороной, равной а.

Рис. 139. Построение чертежа развертки поверхностей призмы: а - два вида; б - развертка поверхностей

Таким образом, можно построить чертеж развертки поверхностей любой призмы.

Развертка поверхностей цилиндра состоит из прямоугольника и двух кругов (рис. 140, б). Одна сторона прямоугольника равна высоте цилиндра, другая - длине окружности основания. На чертеже развертки к прямоугольнику пристраивают два круга, диаметр которых равен диаметру оснований цилиндра.

Рис. 140. Построение чертежа развертки поверхностей цилиндра: а - два вида; б - развертка поверхностей

16.2. Чертежи разверток поверхностей конуса и пирамиды .

Развертка поверхностей конуса представляет собой плоскую фигуру, состоящую из сектора - развертки боковой поверхности и круга - основания конуса (рис. 141, 6).

Рис. 141. Построение чертежа развертки поверхностей конуса: а - два вида; б - развертка поверхностей

Построения выполняются так:

Проводят осевую линию и из точки s" на ней описывают радиусом, равным длине s"a" образующей конуса, дугу окружности. На ней откладывают длину окружности основания конуса.
Точку s" соединяют с концевыми точками дуги.
К полученной фигуре - сектору пристраивают круг. Диаметр этого круга равен диаметру основания конуса.

Длину окружности при построении сектора можно определить по формуле C = 3.14xD.

Угол а подсчитывают по формуле а = 360°хD/2L, где D - диаметр окружности основания, L -длина образующей конуса, ее можно подсчитать по теореме Пифагора.

Рис. 142. Построение чертежа развертки поверхностей пирамиды: а - два вида; б - развертка поверхностей

Чертеж развертки поверхностей пирамиды строят так (рис. 142, б):
Из произвольной точки О описывают дугу радиуса L, равного длине бокового ребра пирамиды. На этой дуге откладывают четыре отрезка, равные стороне основания. Крайние точки соединяют прямыми с точкой О. Затем пристраивают квадрат, равный основанию пирамиды.

Обратите внимание, как оформляют чертежи разверток. Над изображением выносят специальный знак. От линий сгиба, которые проводят штрихпунктирнои с двумя точками, проводят линии-выноски и пишут на полке «Линии сгиба».

Как построить чертеж развертки поверхностей цилиндра?
Какие надписи наносят на чертежах разверток поверхностей предметов?

Цилиндр, конус, шар | Помощь школьникам

Цилиндр, конус и шар относятся к объемным (трехмерным) геометрическим фигурам вращения.

Объемные фигуры вращения (еще говорят — «тела», подразумевая объемность фигуры), как правило, образованы вращением плоской фигуры вокруг какой-то линии (прямой).

Так, цилиндр — это фигура, полученная от вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон как оси; конус — вращением прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси, шар — вращением полукруга вокруг его диаметра как оси.

Объемные фигуры бывают прямые (прямой цилиндр, прямой конус) и наклонные (наклонный цилиндр, наклонный конус), что зависит от вида той плоской геометрической фигуры, которая их образует.

В курсе математики для б класса рассматриваются только прямые цилиндры и конусы

Определение. Цилиндр — это тело (объемная геометрическая фигура), полученное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон как оси.

Определение. Конус (прямой) — это тело (объемная геометрическая фигура), полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси.

Определение. Шар — это тело (объемная геометрическая фигура), полученное вращением полукруга вокруг его диаметра как оси.

Развертки цилиндра и конуса

Разверткой геометрической фигуры называется изображение плоскости, ограничивающей фигуру, в одной плоскости листа по размерам фигуры.

Развертка цилиндра приведена схематически.

Развертка конуса приведена схематически.

Площади боковой поверхности цилиндра и конуса

Правило. Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания и высоты цилиндра.

где C — длина окружности, H — высота цилиндра, R — радиус окружности основания.

Правило. Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания и образующей конуса.

где C — длина окружности основания, l — длина образующей конуса, R — радиус основания.

Площадь поверхности шара

Правило. Площадь поверхности шара равна учетверенной площади большого круга шара.

где R — радиус шара.

Объемы цилиндра, конуса и шара

Правило. Объем цилиндра равен произведению площади основания н высоты.

где R — радиус основания, H — высота цилиндра.

Правило. Объем конуса равен одной трети произведения площади основания и высоты конуса.

где R — радиус основания, H — высота конуса.

Правило. Объем шара равен четырем третям
произведения числа Пи на куб радиуса.

где R — радиус шара.

Усеченный конус. Площадь поверхности усеченного конуса

Тема урока: «Усеченный конус. Площадь поверхности усеченного конуса».

Цели:

обучающая - рассмотреть виды сечений конуса различными плоскостями, ввести понятие усеченного конуса, его элементов, рассмотреть усеченный конус как тело вращения, вывести формулу для вычисления площади боковой и полной поверхности усеченного конуса, показать связь темы с окружающим миром;

развивающая - развивать логическое мышление и конструктивные навыки, сознательное восприятие учебного материала, зрительную память и грамотную математическую речь, навыки самоконтроля и самооценки;

воспитательная - воспитывать познавательную активность, чувство прекрасного, культуру речи и общения, аккуратность.

Методы: информационно – иллюстративный; проблемный диалог; самостоятельная работа, элементы информационных технологий.

Оборудование: компьютер, проектор, записи на доске, раздаточный материал (карточки с заданиями).

План урока:

1. Организационный момент.(1 мин)
2. Историческая справка.(1 мин)
3. Повторение основных сведений о конусе.(5 мин)
4. Объяснение нового материала. (8 мин)
5. Решение задач по готовым чертежам, на нахождение площади
поверхности усеченного конуса (4 задачи).(25 мин)
6. Дополнительная информация о конусе. (3 мин)
7. Задание на дом .(1 мин)
8. Подведение итогов. (1 мин)

Ход урока

Урок сопровождается презентацией. (Приложение)

1. Организационный момент. (Слайд № 1)

Фотография соснового леса. Какое отношение эта фотография имеет к нашему уроку?

Подсказка: С какой фигурой вращения мы познакомились на прошлом уроке? Конус! Конус в переводе с греческого «konos» означает «сосновая шишка».

2. Историческая справка

С конусом люди знакомы с глубокой древности. В 1906 году была обнаружена книга Архимеда (287–212 гг. до н. э.) «О методе», в которой дается решение задачи об объеме общей части пересекающихся цилиндров. Архимед приписывает честь открытия этого принципа Демокриту (470–380 гг. до н. э.) – древнегреческому философу-материалисту. С помощью этого принципа Демокрит получил формулы для вычисления объема пирамиды и конуса.

Много сделала для геометрии школа Платона (428–348 гг. до н. э.). Платон был учеником Сократа (470–399 гг. до н. э.). Он в 387 г. до н. э. основал в Афинах Академию, в которой работал 20 лет. Каждый, входящий в Академию, читал надпись: «Пусть сюда не входит никто, не знающий геометрии». Школе Платона, в частности, принадлежит: а) исследование свойств призмы, пирамиды, цилиндра и конуса; б) изучение конических сечений.

Большой трактат о конических сечениях был написан Аполлонием Пергским (260–170 гг. до н. э.) – учеником Евклида (III в. до н. э.), который создал великий труд из 15 книг под названием «Начала». Эти книги издаются и по сей день, а в школах Англии по ним учатся до сих пор.

3. Повторение основных сведений о конусе

На прошлом уроке мы успели познакомиться с понятием конуса и вывести формулы для нахождения площади боковой и полной поверхности конуса.

Два человека вызываются к доске, решать задачи по карточкам.

Карточка № 1

Центральный угол в развертке боковой поверхности конуса равен 120°. Площадь боковой поверхности конуса равна 12. Найдите площадь осевого сечения конуса.

Карточка № 2

Через вершину конуса проведено сечение наибольшей площади. Центральный угол в развертке боковой поверхности конуса равен 270°. Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания.

Остальные ребята из класса работают устно. (Слайд № 2)

Что называется конусом? Назовите все элементы конуса.

1. Верно ли, что

- образующая конуса больше его высоты?
- существует параллельный перенос, при котором одна из образующих конуса отображается на другую?

Назовите формулу для вычисления площади боковой поверхности конуса. Что является разверткой конуса? Что называется осевым сечением конуса? (Слайд № 3)

2. Может ли

- площадь боковой поверхности конуса равняться площади его осевого сечения?
- развертка боковой поверхности конуса быть кругом?
- площадь боковой поверхности конуса равняться площади его основания?

Конус является фигурой вращения. Как можно получить конус? (Слайд № 4)

3. Назовите плоскую фигуру, при вращении которой вокруг одной из сторон образуются два равных конуса с общим основанием.

Проверка ответов учеников, работающих по карточкам.

Определение и формулы повторили, а теперь рассмотрим виды сечений конуса различными плоскостями. (Слайд № 5-7)

4. Объяснение нового материала. (Слайд № 8-15)

Объяснение нового материала проводится с помощью постановки проблемных вопросов так, что выводы делают сами дети.

Усеченным конусом называется часть конуса, расположенная между его основанием и секущей плоскостью, перпендикулярной к оси конуса.

Основание данного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью а, называются основаниями усеченного конуса.

Отрезок, соединяющий центры оснований усеченного конуса, называется его высотой или осью.

Часть конической поверхности, ограничивающая усеченный конус, называется его боковой поверхностью, а отрезки образующих конической поверхности, расположенные между основаниями усеченного конуса, называются его образующими.

Все образующие усеченного конуса равны между собой. Усеченный конус может быть получен вращением прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной к основаниям.
Осевое сечение усеченного конуса – равнобедренная трапеция.

5. Решение задач на нахождение площади поверхности усеченного конуса (3 задачи)

(Слайды № 16-18)

1. Найдите, чему равна площадь осевого сечения и площадь боковой поверхности усеченного конуса, если радиусы его оснований 3 и 6 см, а высота равна 4 см.
2. Найдите, чему равна осевого сечения и полной поверхности усеченного конуса, образующая равна 30 см, а диагональ осевого сечения равная 40 см перпендикулярна с образующей.
3. Радиусы оснований усеченного конуса равны 16 см и 25 см. Найдите площадь полной поверхности конуса, если в его осевое сечение можно вписать окружность.

Самостоятельная работа с последующей самопроверкой. (Слайд № 19, 20)

1. Найдите ошибочную фразу

усеченным конусом называется часть конуса, ограниченная его основанием и сечением, плоскость которого параллельна плоскости основания;

усеченным конусом называется фигура (тело), полученная при вращении равнобедренной трапеции около своей оси;

усеченным конусом называется фигура, любое осевое сечение которой – равнобедренная трапеция.

2. Длины окружностей оснований усеченного конуса равны 4 см и 10 см, а высота конуса 4 см. Найдите площадь поверхности усеченного конуса.

3. Образующая усеченного конуса равна l и составляет с плоскостью основания угол . Диагональ его осевого сечения перпендикулярна образующей. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

6. Дополнительная информация о конусе

(Слайды № 21-24)

1. В геологии существует понятие «конус выноса». Это форма рельефа, образованная скоплением обломочных пород (гальки, гравия, песка), вынесенными горными реками на предгорную равнину или в более плоскую широкую долину.

2. В биологии есть понятие «конус нарастания». Это верхушка побега и корня растений, состоящая из клеток образовательной ткани.

3. «Конусами» называется семейство морских моллюсков подкласса переднежаберных. Раковина коническая (2–16 см), ярко окрашенная. Конусов свыше 500 видов. Живут в тропиках и субтропиках, являются хищниками, имеют ядовитую железу. Укус конусов очень болезнен. Известны смертельные случаи.

Раковины используются как украшения, сувениры.

4. По статистике на Земле ежегодно гибнет от разрядов молний 6 человек на 1000 000 жителей (чаще в южных странах). Этого бы не случалось, если бы везде были громоотводы, так как образуется конус безопасности. Чем выше громоотвод, тем больше объем такого конуса. Некоторые люди пытаются спрятаться от разрядов под деревом, но дерево не проводник, на нем заряды накапливаются и дерево может быть источником напряжения.

5. В физике встречается понятие «телесный угол». Это конусообразный угол, вырезанный в шаре. Единица измерения телесного угла – 1 стерадиан. 1 стерадиан – это телесный угол, квадрат радиуса которого равен площади части сферы, которую он вырезает. Если в этот угол поместить источник света в 1 канделу (1 свечу), то получим световой поток в 1 люмен. Свет от киноаппарата, прожектора распространяется в виде конуса.

7. Задание на дом

(Слайд № 25)

П. 55,56 повторить, п. 57
№ 569, 571

На пять: Через середину высоты конуса проведена плоскость, параллельная основанию. Площади полных поверхностей частей конуса, которые при этом образовались, относятся как 3:11. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания.

8. Подведение итогов

Учитель ещё раз подчёркивает связь математики с окружающим миром и необходимость математических знаний в положительном преобразовании окружающего мира. (Слайды № 26-30)

Найти боковую поверхность конуса. Площадь боковой и полной поверхности конуса

Мы знаем, что такое конус, попробуем найти площадь его поверхности. Зачем нужно решать такую задачу? Например, нужно понять, сколько теста пойдет на изготовление вафельного рожка? Или сколько кирпичей понадобится, чтобы сложить кирпичную крышу замка?

Измерить площадь боковой поверхности конуса просто так не получится. Но представим себе все тот же рожок, обмотанный тканью. Чтобы найти площадь куска ткани, нужно разрезать и разложить ее на столе. Получится плоская фигура, ее площадь мы сможем найти.

Рис. 1. Разрез конуса по образующей

Сделаем так же с конусом. «Разрежем» его боковую поверхность вдоль любой образующей, например, (см. рис. 1).

Теперь «размотаем» боковую поверхность на плоскость. Получаем сектор. Центр этого сектора - вершина конуса, радиус сектора равен образующей конуса, а длина его дуги совпадает с длиной окружности основания конуса. Такой сектор называется разверткой боковой поверхности конуса (см. рис. 2).

Рис. 2. Развертка боковой поверхности

Рис. 3. Измерение угла в радианах

Попробуем найти площадь сектора по имеющимся данным. Сперва введем обозначение: пусть угол при вершине сектора в радианах (см. рис. 3).

С углом при вершине развертки нам придется часто сталкиваться в задачах. Пока же попробуем ответить на вопрос: а не может ли этот угол получиться больше 360 градусов? То есть не получится ли так, что развертка наложится сама на себя? Конечно же, нет. Докажем это математически. Пусть развертка «наложилась» сама на себя. Это означает, что длина дуги развертки больше длины окружности радиуса . Но, как уже было сказано, длина дуги развертки есть длина окружности радиуса . А радиус основания конуса, разумеется, меньше образующей, например, потому, что катет прямоугольного треугольника меньше гипотенузы

Тогда вспомним две формулы из курса планиметрии: длина дуги . Площадь сектора: .

В нашем случае роль играет образующая , а длина дуги равна длине окружности основания конуса, то есть . Имеем:

Окончательно получаем: .

Наряду с площадью боковой поверхности можно найти и площадь полной поверхности. Для этого к площади боковой поверхности надо прибавить площадь основания. Но основание - это круг радиуса , чья площадь по формуле равна .

Окончательно имеем: , где - радиус основания цилиндра, - образующая.

Решим пару задач на приведенные формулы.

Рис. 4. Искомый угол

Пример 1 . Разверткой боковой поверхности конуса является сектор с углом при вершине. Найти этот угол, если высота конуса равна 4 см, а радиус основания равен 3 см (см. рис. 4).

Рис. 5. Прямоугольный треугольник, образующий конус

Первым действием, по теореме Пифагора, найдем образующую: 5 см (см. рис. 5). Далее, мы знаем, что .

Пример 2 . Площадь осевого сечения конуса равна , высота равна . Найти площадь полной поверхности (см. рис. 6).

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Тип урока: урок изучения нового материала с применением элементов проблемно-развивающего метода обучения.
Цели урока:

познавательные:
ознакомление с новым математическим понятием;

формирование новых ЗУН;

формирование практических навыков решения задач.

развивающие:
развитие самостоятельного мышления учащихся;

развитие навыков правильной речи школьников.

воспитательные:
воспитание навыков работы в коллективе.

Оборудование урока: магнитная доска, компьютер, экран, мультимедийный проектор, модель конуса, презентация к уроку, раздаточный материал.

Задачи урока (для учащихся):

познакомиться с новым геометрическим понятием - конус;

вывести формулу для вычисления площади поверхности конуса;

научиться применять полученные знания при решении практических задач.

Ход урока

I этап. Организационный.

Сдача тетрадей с домашней проверочной работой по пройденной теме.

Учащимся предлагается узнать тему предстоящего урока, разгадав ребус (слайд 1) :

Рисунок 1.

Объявление учащимся темы и задач урока (слайд 2) .

II этап. Объяснение нового материала.

1) Лекция учителя.

На доске – таблица с изображением конуса. Новый материал объясняется в сопровождении программного материала «Стереометрия». На экране появляется трёхмерное изображение конуса. Учитель даёт определение конуса, рассказывает о его элементах.(слайд 3) . Говорится о том, что конус – это тело, образованное при вращении прямоугольного треугольника относительно катета. (слайды 4, 5). Появляется изображение развёртки боковой поверхности конуса. (слайд 6)

2) Практическая работа.

Актуализация опорных знаний: повторить формулы для вычисления площади круга, площади сектора, длины окружности, длины дуги окружности. (слайды 7–10)

Класс делится на группы. Каждая группа получает вырезанную из бумаги развёртку боковой поверхности конуса (сектор круга с присвоенным номером). Учащиеся выполняют необходимые измерения и вычисляют площадь полученного сектора. Инструкции по выполнению работы, вопросы – постановки проблем – появляются на экране (слайды 11–14) . Результаты вычислений представитель каждой группы записывает в заготовленную на доске таблицу. Участники каждой группы склеивают модель конуса из имеющейся у них развёртки. (слайд 15)

3) Постановка и решение проблемы.

Как вычислить площадь боковой поверхности конуса, если известны только радиус основания и длина образующей конуса? (слайд 16)

Каждая группа производит необходимые измерения и пытается вывести формулу вычисления искомой площади с помощью имеющихся данных. При выполнении этой работы школьники должны заметить, что длина окружности основания конуса равна длине дуги сектора – развёртки боковой поверхности этого конуса. (слайды 17–21) Используя необходимые формулы, выводится искомая формула. Рассуждения учащихся должны выглядеть примерно таким образом:

Радиус сектора – развёртки равен l, градусная мера дуги – φ. Площадь сектора вычисляется по формуле длина дуги, ограничивающей этот сектор, равна Радиус основания конуса R. Длина окружности, лежащей в основании конуса, равна С = 2πR. Заметим, что Так как площадь боковой поверхности конуса равна площади развёртки его боковой поверхности, то

Итак, площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле S БПК = πRl.

После вычисления площади боковой поверхности модели конуса по выведенной самостоятельно формуле представитель каждой группы записывает результат вычислений в таблицу на доске в соответствии с номерами моделей. Результаты вычислений в каждой строке должны быть равны. По этому признаку учитель определяет правильность выводов каждой группы. Таблица результатов должна выглядеть таким образом:

№ модели

I задание

II задание

(125/3)π ~ 41,67 π

(425/9)π ~ 47,22 π

(539/9)π ~ 59,89 π

Параметры моделей:

l=12 см, φ =120 °

l=10 см, φ =150 °

l=15 см, φ =120 °

l=10 см, φ =170 °

l=14 см, φ =110 °

Приближённость вычислений связана с погрешностями измерений.

После проверки результатов вывод формул площадей боковой и полной поверхностей конуса появляется на экране (слайды 22–26) , ученики ведут записи в тетрадях.
III этап. Закрепление изученного материала.

1) Учащимся предлагаются задачи для устного решения на готовых чертежах.

Найти площади полных поверхностей конусов, изображённых на рисунках (слайды 27–32) .

2) Вопрос: равны ли площади поверхностей конусов, образованных вращением одного прямоугольного треугольника относительно разных катетов? Учащиеся выдвигают гипотезу и проверяют её. Проверка гипотезы осуществляется путём решения задач и записывается учеником на доске.

Дано: Δ АВС, ∠С=90°, АВ=с, АС=b, ВС=а;

ВАА", АВВ" – тела вращения.

Найти: S ППК 1 , S ППК 2 .

Рисунок 5. (слайд 33)

Решение:

1) R=ВС= а ; S ППК 1 = S БПК 1 + S осн 1 = π а с+π а 2 = π а (а + с).

2) R=АС= b ; S ППК 2 = S БПК 2 + S осн 2 = π b с+π b 2 = π b (b + с).

Если S ППК 1 = S ППК 2 , то а 2 +ас = b 2 + bc, a 2 - b 2 + ac - bc = 0, (a-b)(a+b+c) = 0. Т.к. a, b, c – положительные числа (длины сторон треугольника), торавенство верно только в случае, если a = b.

Вывод: Площади поверхностей двух конусов равны только в случае равенства катетов треугольника.(слайд 34)

3) Решение задачи из учебника: № 565.
IV этап. Подведение итогов урока.

Домашнее задание: п.55, 56; № 548, № 561. (слайд 35)
Объявление поставленных оценок.
Выводы по ходу урока, повторение основных сведений, полученных на уроке.

Литература (слайд 36)

Геометрия 10–11 классы – Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др., М., «Просвещение», 2008.

«Математические ребусы и шарады» – Н.В. Удальцова, библиотечка «Первого сентября», серия «МАТЕМАТИКА», выпуск 35, М., Чистые пруды, 2010.

Площадь поверхности конуса (или просто поверхность конуса) равна сумме площадей основания и боковой поверхности.
Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле: S = πRl , где R - радиус основания конуса, а l - образующая конуса.
Так как площадь основания конуса равна πR 2 (как площадь круга), то площадь полной поверхности конуса будет равна: πR 2 + πRl = πR (R + l ).
Получение формулы площади боковой поверхности конуса можно пояснить такими рассуждениями. Пусть на чертеже изображена развёртка боковой поверхности конуса. Разделим дугу АВ на возможно большее число равных частей и все точки деления соединим с центром дуги, а соседние - друг с другом хордами.
Получим ряд равных треугольников. Площадь каждого треугольника равна ah / 2 , где а - длина основания треугольника, a h - его высота.
Сумма площадей всех треугольников составит: ah / 2 n = anh / 2 , где n - число треугольников.
При большом числе делений сумма площадей треугольников становится весьма близкой к площади развёртки, т. е. площади боковой поверхности конуса. Сумма оснований треугольников, т. е. an , становится весьма близкой к длине дуги АВ, т. е. к длине окружности основания конуса. Высота каждого треугольника становится весьма близкой к радиусу дуги, т. е. к образующей конуса.
Пренебрегая незначительными различиями в размерах этих величин, получаем формулу площади боковой поверхности конуса (S):
S = Cl / 2 , где С - длина окружности основания конуса, l - образующая конуса.
Зная, что С = 2πR, где R - радиус окружности основания конуса, получаем: S = πRl .
Примечание. В формуле S = Cl / 2 поставлен знак точного, а не приближённого равенства, хотя на основании проведённого рассуждения мы могли бы это равенство считать приближённым. Но в старших классах средней школы доказывается, что равенство
S = Cl / 2 точное, а не приближённое.
Теорема. Боковая поверхность конуса равна произведению длины окружности основания на половину образующей.
Впишем в конус (рис.) какую-нибудь правильную пирамиду и обозначим буквами р и l числа, выражающие длины периметра основания и апофемы этой пирамиды.
Тогда боковая поверхность её выразится произведением 1 / 2 р l .
Предположим теперь, что число сторон вписанного в основание многоугольника неограниченно возрастает. Тогда периметр р будет стремиться к пределу, принимаемому за длину С окружности основания, а апофема l будет иметь пределом образующую конуса (так как из ΔSAK следует, что SA - SK
1 / 2 р l , будет стремиться к пределу 1 / 2 С L. Этот предел и принимается за величину боковой поверхности конуса. Обозначив боковую поверхность конуса буквой S, можем написать:
S = 1 / 2 С L = С 1 / 2 L
Следствия.
1) Так как С = 2π R, то боковая поверхность конуса выразится формулой:
S = 1 / 2 2π R L = π RL
2) Полную поверхность конуса получим, если боковую поверхность сложим с площадью основания; поэтому, обозначая полную поверхность через Т, будем иметь:
T = π RL + π R 2 = π R(L + R)
Теорема. Боковая поверхность усечённого конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую.
Впишем в усечённый конус (рис.) какую-нибудь правильную усечённую пирамиду и обозначим буквами р, р 1 и l числа, выражающие в одинаковых линейных единицах длины периметров нижнего и верхнего оснований и апофемы этой пирамиды.
Тогда боковая поверхность вписанной пирамиды равна 1 / 2 (р + р 1) l
При неограниченном возрастании числа боковых граней вписанной пирамиды периметры р и р 1 стремятся к пределам, принимаемым за длины С и С 1 окружностей оснований, а апофема l имеет пределом образующую L усечённого конуса. Следовательно, величина боковой поверхности вписанной пирамиды стремится при этом к пределу, равному (С + С 1) L. Этот предел и принимается за величину боковой поверхности усечённого конуса. Обозначив боковую поверхность усечённого конуса буквой S, будем иметь:
S = 1 / 2 (С + С 1) L
Следствия.
1) Если R и R 1 означают радиусы окружностей нижнего и верхнего оснований, то боковая поверхность усечённого конуса будет:
S = 1 / 2 (2π R + 2π R 1) L = π (R + R 1) L.
2) Если в трапеции OO 1 А 1 А (рис.), от вращения которой получается усечённый конус, проведём среднюю линию ВС, то получим:
ВС = 1 / 2 (OA + O 1 A 1) = 1 / 2 (R + R 1),
R + R 1 = 2ВС.
Следовательно,
S = 2π BC L,
т. е. боковая поверхность усечённого конуса равна произведению длины окружности среднего сечения на образующую.
3) Полная поверхность Т усечённого конуса выразится так:
T = π (R 2 + R 1 2 + RL + R 1 L)

Тела вращения, изучаемые в школе, - это цилиндр, конус и шар.

Если в задаче на ЕГЭ по математике вам надо посчитать объем конуса или площадь сферы - считайте, что повезло.

Применяйте формулы объема и площади поверхности цилиндра, конуса и шара. Все они есть в нашей таблице. Учите наизусть. Отсюда начинается знание стереометрии.

Иногда неплохо нарисовать вид сверху. Или, как в этой задаче, - снизу.

2. Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?

Всё просто - рисуем вид снизу. Видим, что радиус большего круга в раз больше, чем радиус меньшего. Высоты у обоих конусов одинаковы. Следовательно, объем большего конуса будет в раза больше.

Еще один важный момент. Помним, что в задачах части В вариантов ЕГЭ по математике ответ записывается в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Поэтому никаких или у вас в ответе в части В быть не должно. Подставлять приближенное значение числа тоже не нужно! Оно обязательно должно сократиться!. Именно для этого в некоторых задачах задание формулируется, например, так: «Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на ».

А где же еще применяются формулы объема и площади поверхности тел вращения? Конечно же, в задаче С2 (16). Мы тоже расскажем о ней.

Построение разверток тел вращения | это... Что такое Построение разверток тел вращения?

Построение разверток тел вращения

Окружающий нас мир динамичен и разнообразен, и далеко не всякий объект можно просто обмерить линейкой. Для подобного переноса используются специальные техники, как то триангуляция.
Потребность в составлении сложных развёрток, как правило, возникает при моделировании, работе с бумагой и металлом, в слесарном деле. Написанная ниже статья, объясняет принципы построения развёрток тел вращения (цилиндр, конус) и их частных случаев (сечение конуса, конус с переходом с круга на квадрат).

Основы и инструмент

Все нижеописанные действия выполняются на бумаге, при помощи линейки, карандаша и циркуля. Рекомендуется комплект лекал, для повышения точности и качества развёрток.

При изготовлении развёрток на металле используется метровая линейка, чертилка, циркуль по металлу, комплект лекал, молоток и керно, для отметки узловых точек.

Длина окружности считается по формуле:

или

Где:
— радиус окружности,
— диаметр окружности,
— длина окружности,
— Число Пи (Pi),
Как правило, для вычисления используется значение (Pi) до второго знака (3,14), но в некоторых случаях, этого может быть недостаточно.

Усечённый конус с доступной вершиной: Конус, при построении которого можно определить положение вершины.

Усечённый конус с недоступной вершиной: Конус, при построении которого положение вершины определить затруднительно, в виду её удалённости.

Триангуляция: способ построения разверток поверхностей неразвертывающихся, конических, общего вида и с ребром возврата.

Следует помнить: Независимо от того, является рассматриваемая поверхность развертываемой или неразвертываемой, графически может быть построена только приближенная развертка. Это объясняется тем, что в процессе снятия и откладывания размеров и выполнения других графических операций неизбежны погрешности, обусловливаемые конструктивными особенностями чертежных инструментов, физическими возможностями глаза и погрешностями от замены дуг хордами и углов на поверхности плоскими углами. Приближенные развертки кривых не-развертывающихся поверхностей, кроме графических погрешностей, содержат погрешности, полученные за счет несовпадения элементов таких поверхностей с плоскими аппроксимирующими элементами. Поэтому для получения поверхности из такой развертки, кроме изгибания, необходимо произвести частичное растяжение и сжатие отдельных ее участков. Приближенные развертки при тщательном выполнении обладают точностью, достаточной для практических целей.

Представленный в статье материал, подразумевает, что вы имеете представление об основах черчения, умеете делить окружность, находить центр отрезка при помощи циркуля, снимать/переносить размеры циркулем, пользоваться лекалами, и соответствующим справочным материалом. Потому, объяснение многих моментов в статье опущено.

Построение развёртки цилиндра

Цилиндр
Цилиндр
Тело вращения с наиболее простой развёрткой, имеющей форму прямоугольника, где две параллельные стороны соответствуют высоте цилиндра, а две другие параллельные стороны — длине окружности оснований цилиндра.

Усечённый цилиндр (рыбина)
Усечённый цилиндр
Подготовка:

Для создания развёртки, начертим четырёхугольник ACDE в натуральную величину (см.чертёж).

Проведём перпендикуляр BD, из плоскости AC в точку D, отсекая от построения прямую часть цилиндра ABDE, которую можно достроить по мере надобности.

Из центра плоскости CD (точка O) проведём дугу, радиусом в половину плоскости CD, и разделим её на 6 частей. Из получившихся точек O, проведём перпендикулярные прямые к плоскости CD. Из точек на плоскости CD, проведём прямые, перпендикулярные к плоскости BD.

Построение:

Отрезок BC переносим, и превращаем в вертикаль. Из точки B, вертикали BC, проводим луч, перпендикулярный вертикали BC.

Циркулем снимаем размер C-O₁, и откладываем на луче, из точки B, точку 1. Снимаем размер B₁-C₁, и откладываем перпендикуляр из точки 1.

Циркулем снимаем размер O₁-O₂, и откладываем на луче, из точки 1, точку 2. Снимаем размер B₂-C₂, и откладываем перпендикуляр из точки 2.

Повторять, пока не будет отложена точка D.

Получившиеся вертикали, из точки C, вертикали BC, до точки D — соединить лекальной кривой.

Вторая половина развёртки зеркальна.

Подобным образом строятся любые цилиндрические срезы.
Примечание: Почему "Рыбина" — если продолжить построение развёртки, при этом половину построить от точки D, а вторую в обратную сторону от вертикали BC, то получившийся рисунок, будет похож на рыбку, или рыбий хвост.

Чертёж: "Усечённый цилиндр"

Построение развёртки конуса

Конус
Конус
Развёртка конуса может быть выполнена двумя способами. (См. чертёж)

Если известен размер стороны конуса, из точки O, циркулем чертится дуга, радиусом равным стороне конуса. На дуге откладываются две точки (A₁ и B₁), на расстоянии равном длине окружности и соединяются с точкой О.

Строится конус в натуральную величину, из точки O, в точку A, ставится циркуль, и проводится дуга, проходящая через точки A и B. На дуге откладываются две точки (A₁ и B₁), на расстоянии равном длине окружности и соединяются с точкой О.

Для удобства, от можно откладывать половину длинны окружности, в обе стороны от осевой линии конуса.
Конус со смещёной вершиной строиться так же, как усечённый конус со смещёнными основаниями.
Как отложить длину окружности на дуге:

При помощи нитки, длина которой равна длине окружности.

При помощи металической линейки, которую следует изогнуть «по дуге», и поставить соответствующие риски.

Построить окружность основания конуса в виде сверху, в натуральную величину. Разделить окружность на 12 или более равных частей, и отложить их на прямой поочерёдно.

Чертёж: "Конус"

Конус с прямоугольным (многогранным) основанием.
Конуса с многогранным основанием
В случае, если конус имеет ровное, радиальное, основание: (При построении окружности на виде с верху, путём установки циркуля в центр, и очерчивания окружности по произвольной вершине — все вершины основания укладываются на дугу окружности.) Построить конус, по аналогии с развёрткой обычного конуса (основание строить по окружности, от вида сверху). Отложить дугу из точки O. В произвольной части дуги поставить точку A₁, и поочерёдно отложить все грани основания на дугу. Конечная точка последней грани будет B₁.

Во всех иных случаях конус строится по принципу триангуляции (см. далее).

Усечённый конус с доступной вершиной
Усечённый конус
Построить усечённый конус ABCD в натуральную величину (См. чертёж).
Стороны AD и BC продожить, до появления точки пересечения O. Из точки пересечения O, провести дуги, с радиусом OB и OC.
На дуге OC, отложить длину окружности DC. На дуге OB, отложить длину окружности AB. Полученные точки соединить отрезками L₁ и L₂.
Для удобства, от можно откладывать половину длинны окружности, в обе стороны от осевой линии конуса.
Как отложить длину окружности на дуге:

При помощи нитки, длина которой равна длине окружности.

При помощи металической линейки, которую следует изогнуть «по дуге», и поставить соответствующие риски.

Примечание: Совсем не обязательно, что отрезки L₁ и L₂, если их продолжить, будут сходится в точке O. Если быть до конца честным, то сойтись они должны, но с учётом поправок на погрешности инструмента, материала и глазомера — точка пересечения может оказаться чуть ниже или выше вершины, что не является ошибкой.

Чертёж: "Усечённый конус"

Усечённый конус с переходом с круга на квадрат
Конус с переходом с круга на квадрат
Подготовка:
Построить усечённый конус ABCD в натуральную величину (см. чертёж), построить вид сверху ABB₁A₁. Окружность поделить на равные части (в приведённом примере показано деление одной четверти). Точки AA₁-AA₄ соединить отрезками с точкой A. Провести ось O, из центра которой провести перпендикуляр O-O₁, высотой равной высоте конуса.
Ниже, первичные размеры снимаются с вида сверху.
Построение:

Снять размер AD и построить произвольную вертикаль AA₀-AA₁. Снять размер AA₀-A, и поставить «примерную точку», сделав отмашку циркулем. Снять размер A-AA₁, и на оси O, из точки O, отложить отрезок, снять размер из полученной точки до точки O₁. Сделать отмашку циркулем из точки AA₁, до предполагаемой точки A. Соединить отрезками точки AA₀-A-AA₁.

Снять размер AA₁-AA₂, из точки AA₁ поставить «примерную точку», сделав отмашку циркулем. Снять размер A-AA₂, и на оси O, из точки O, отложить отрезок, снять размер из полученной точки до точки O₁. Сделать отмашку циркулем из точки A, до предполагаемой точки AA₂. Провести отрезок A-AA₂. Повторить, пока не будет отложен отрезок A-AA₄.

Снять размер A-AA₅, из точки A поставить «примерную точку» AA₅. Снять размер AA₄-AA₅, и на оси O, из точки O, отложить отрезок, снять размер из полученной точки до точки O₁. Сделать отмашку циркулем из точки AA₄, до предполагаемой точки AA₅. Провести отрезок AA₄-AA₅.

Подобным образом построить остальные сегменты.
Примечание: Если конус имеет доступную вершину, и КВАДРАТНОЕ основание - то построение можно провести по принципу усечённого конуса с доступной вершиной, а основание — конуса с прямоугольным (многогранным) основанием. Точность будет ниже, но построение существенно проще.

Чертёж: "Конус с переходом с круга на квадрат"

Усечённый конус с непараллельными основаниями
Усечённый конус с не параллельными основаниями
Готовлю чертежи

Усечённый конус со смещёнными основаниями
Усечённый конус со смещёнными основаниями Усечённый конус со смещёнными основаниями в векторном представлении
Готовлю чертежи

Обобщения и замечания

Используя вышеприведённую технику, можно построить развёртку практически любого объекта со сложной топографией.

При этом следует иметь в виду, что при работе с металлом следует брать внутренние размеры детали, т.к. при гибке и/или закатке, внешняя поверхность металла тянется, а внутренняя остаётся неизменной. (Верно при использовании современного гибочного оборудования. На устаревшем оборудовании, следует вводить поправки на износ поверхностей, и точность работы станка.)

При работе с металлом, толщиной свыше 6 мм, в зависимости от типа, марки металла и используемого гибочного оборудования - размеры следует брать не по внутренней стороне, а по «средней линии», которая проходит на половине толщины металла.

При изготовлении из металла, линии разметки (прямые, а не вспомогательные диагонали) могут использоваться как линии гиба, с последующей доводкой контура молотком/киянкой на вспомогательной поверхности.

Смотри так же

ГОСТ 2.301-68* Форматы. (размеры форматов и их обозначение)

Начертательная геометрия и черчение.Книга начертательная геометрия и машиностроительное черчение. Под редакцией Чекмарева А.А.

Справочное руководство по черчению. Под редакцией Е.И. Годик и А.М. Хаскин. Москва "МАШИНОСТРОЕНИЕ" 1974г.

ЧЕРЧЕНИЕ. Под редакцией Боголюбова С.К. Учебник для средних специальных учебных заведений (2-е изд.)

Сосна обыкновенная | Экономический университет в Катовице

Была сосна обыкновенная,
очень изящная и веселая.
Она напомнила о бизнесе,
о том, что богатство умножится,
когда ученик приложит хорошие усилия.

лимерика проф. связанные с доктор хаб. Henryka Bienioka

Сосна обыкновенная (сосна обыкновенная) (Pinus sylvestris L.) – вечнозеленое хвойное дерево высотой до 35 м, одно из важнейших лесных деревьев в Европе.Это вид с трансконтинентальным ареалом в Европе и Азии, где он образует чистые или смешанные леса, называемые лесами. В сложных условиях (барханы, торфяные болота, высокогорье) может принимать кустарниковую форму.Кроны деревьев, растущих в компактности, рыхлые и высоко посаженные, у свободно растущих деревьев крона компактная, широкая, зонтиковидная. Прямой ствол сильно очищен от боковых ветвей, в верхней части покрыт гладкой и тонкой коричнево-медной корой, отслаивающейся тонкими лопастями.В нижней части ствола кора отчетливо толстая, бороздчатая, серо-бурая. Побеги сосны голые, зеленовато-коричневые, дифференцированы на длинные и короткие побеги. Хвоя сосны обыкновенной, собранная попарно в пучок, жесткая, острая и колючая на верхушке. Маленькие коричневые шишки одиночные или в количестве 2-3. Сосна обыкновенная – неприхотливое дерево. Обеспечивает ценную твердую смоляную древесину для строительства и бумажной промышленности.

Сосна обыкновенная – одно из самых популярных хвойных деревьев во всем мире.Они могут принять и приспособиться к сложным природным условиям, как и многие предприниматели в Рыбницком районе. Они растут как в теплых, так и в морозных странах, гордо взбираясь на вершину. Эту гордость они распространяют на жителей Рыбницкого края, которые строят свой региональный бизнес, опираясь на финансовую систему и эффективное управление. Сосна обыкновенная имеет самую глубокую корневую систему среди хвойных деревьев в Польше. Это обеспечивает стабильность, столь близкую жителям Рыбницкого края, которые ценят традиционные семейные, социальные и деловые ценности.Их разветвленная система горизонтальных корней, в свою очередь, гарантирует прочную ассимиляцию с окружающей средой, побуждая предпринимателей укреплять взаимные связи и взаимоотношения.

Под грубой, глубоко бороздчатой корой сосны залегает легкая в обработке, упругая древесина с хорошей механической прочностью. В течение многих лет сосновая древесина использовалась для изготовления штампов или железнодорожных шпал, что заложило основу для индустриализации региона. Со временем он служил материалом для силовых и телеграфных столбов, создавая современную, все более постиндустриальную инфраструктуру для бизнеса, финансов и управления.Поэтому было принято решение возделывать сосну обыкновенную и в районах, отличных от ее естественного ареала. Многие жители Рыбницкого края также прибыли из дальних мест, ассимилировавшись с регионом и служа ему своим умением.

В настоящее время древесина сосны широко используется в столярном деле. Сосновые окна, двери, полы и мебель являются обязательным оборудованием в большинстве деловых, финансовых и административных подразделений. Своей красивой текстурой, цветом и запахом они наполняют интерьеры домов, церквей и многочисленных памятников региона.Сосновая древесина также является носителем знаний. Студенты факультета бизнеса, финансов и управления часто готовятся к экзаменам за сосновой партой. Они используют электронные заметки, а также книги, сочетающие технологический прогресс с традициями бумаги. Древесина сосны до сих пор остается одним из основных сырьевых материалов для ее производства. Несмотря на расширение информационной экономики, бумага по-прежнему остается ценным «акционером» в современном бизнесе и управлении, а безопасность неизменно является объектом желания финансиста.Сосна обыкновенная, кроме материальных благ, дает и преходящие ценности. Эфирные масла, получаемые из коры, шишек, хвои, почек и корней, применяют в парфюмерно-косметической и медицинской промышленности. Уникальный подарок, который мы получаем от сосны обыкновенной – янтарь. Для жителей Рыбника и окрестностей окаменевшая сосновая смола, жившая миллионы лет назад, символизирует бесценное наследие угля, руд и полезных ископаемых, наследниками которых мы являемся.
.
Шишковидная железа - что это такое и каковы ее основные функции? Заболевания, связанные с шишковидной железой.

У большинства людей шишковидная железа ассоциируется с выработкой мелатонина, который облегчает засыпание и обеспечивает долгий, спокойный и глубокий сон. Однако оказывается, что шишковидной железе мы обязаны гораздо больше. Современная медицина открывает новые функции этой крошечной железы в нашем мозгу. Ниже мы представляем интересную информацию, связанную с шишковидной железой, ее влиянием на организм и заболеваниями, которые могут ей угрожать.

Что такое шишковидная железа и что она делает?

Шишковидная железа головного мозга (corpus pineale), известная также как головной мозг или шишковидное тело, представляет собой небольшую эндокринную железу (длиной от 5 до 8 мм), напоминающую конус, поэтому она обязана своим названием шишковидная железа. Вырабатываемые ею гормоны поддерживают и координируют работу внутренних органов, регулируют обменные процессы.

Роль шишковидной железы в организме невозможно переоценить – функции, которые она выполняет:

обеспечивает здоровый сон, отвечает за правильное функционирование биологических часов и иммунитета организма (через гормон мелатонин),

регулирует водное хозяйство (через гормон - вазопрессин),

поддерживает нормальное кровяное давление и регулирует функции центральной нервной системы (выделяет серотонин, называемый гормоном счастья, соответствующий уровень которого успокаивает, а дефицит вызывает нервозность и агрессию ),

обеспечивает правильное функционирование щитовидной железы (через тиреотропин - ТТГ),

отвечает за правильное течение родов (через окситоцин),

заботится о адекватных реакциях организма в экстренных ситуациях (благодаря выброс гормона стресса),

отвечает за половое созревание (за счет секреции гонадотропинов),

влияет на рост организма (за счет секреции мелатонина, повышающий выработку гормона роста - соматотропина ГР),

выполняет множество других функций, играющих второстепенную роль (в т.ч.в влияет на костный метаболизм).

Шишковидная железа – где она расположена?

В связи с огромной ролью, которую играет шишковидная железа в организме, расположение этой железы не случайно. Он находится в головном мозге, который управляет всеми процессами и работой всей системы человека. Шишковидная железа является частью структур гипоталамуса, частью таламического мозга, который в свою очередь является частью промежуточного мозга, являющегося центром головного мозга. Эта структура лежит между верхними холмами пластинки крышки, к тылу задней стенки третьей камеры, в углублении, под четверной пластинкой.Он связан с лобным мозгом, который отвечает за большинство психических и физических процессов человека. У взрослого человека он очень мал - его размер можно сравнить с рисовым зернышком (изначально крупнее, с возрастом уменьшается).

Шишковидная железа и производство мелатонина

Шишковидная железа вырабатывает мелатонин, который отвечает за регуляцию циркадного ритма организма. Этот гормон вырабатывается после наступления темноты. Шишковидная железа получает информацию о времени суток от сетчатки глаза, которая посылает свет в мозг в виде электрических импульсов.По мере выброса гормона в кровь человек становится все более сонливым и, наконец, когда концентрация мелатонина достигает соответствующего уровня, он засыпает. Наибольшая концентрация гормона наблюдается между полуночью и 3 часами ночи. Очень часто бывает так, что свет, излучаемый экранами телевизоров или ноутбуков, нарушает поступление информации к шишковидной железе. Тогда железа не вырабатывает достаточного количества мелатонина и трудно заснуть. Подобные проблемы могут возникать также осенью и зимой, когда в утренние и вечерние часы темно, а значит, не хватает солнечного света.Затем уровень мелатонина выше, что проявляется сезонно: чрезмерная сонливость, тяжесть, апатия, пониженное настроение, иногда депрессия. По мнению специалистов, мелатонин обладает и другими ценными свойствами: укрепляет иммунную систему и снижает количество свободных радикалов. Давно известно, что долгий глубокий сон – лучшее лекарство, он восстанавливает физические и душевные силы, укрепляет организм.

В чем может быть неисправность шишковидной железы?

Ведение неправильного образа жизни часто приводит к нарушениям функции эпифиза - это происходит в результате несоблюдения режима дня организма.Просмотр телевизора, работа или игра перед монитором компьютера до поздней ночи, работа в ночное время и т. д. могут вызывать бессонницу, головные боли, ослабление иммунитета, раздражительность, быструю утомляемость, проблемы с концентрацией внимания и памятью. Сон короткий и не даст вам ни расслабления, ни отдыха. Также при старении организма наблюдается снижение работоспособности шишковидной железы. Гормоны вырабатываются ею в недостаточном количестве. Очень часто люди старше 60 лет жалуются на проблемы со сном, которые в основном вызваны недостаточным выделением мелатонина.

Нарушения в шишковидной железе могут быть вызваны и другими причинами, например, кальцификациями в шишковидной железе. В их основе лежит избыточное накопление кальция в железе. К типичным симптомам нарушений в функционировании шишковидной железы относятся

тошнота,

рвота,

головные боли,

остеопороз,

нарушения менструального цикла или овуляции, нарушения фертильности, нарушения психического здоровья.

Основные заболевания шишковидной железы?

К наиболее частым заболеваниям шишковидной железы относятся кисты, опухоли, гипотиреоз и гиперфункция шишковидной железы.Эти заболевания из-за отсутствия типичных симптомов диагностируются случайно при визуализирующих исследованиях головы, например, при компьютерной или магнитно-резонансной томографии. Киста шишковидной железы не опасна для организма при условии, что она не слишком велика, не кальцинируется и не сдавливает соседние ткани. Заболевание может протекать бессимптомно или вызывать проблемы со зрением, головные боли и, реже, гидроцефалию. Опухоли шишковидной железы могут быть доброкачественными или злокачественными. Они вызывают различные симптомы, включая головокружение и головные боли, рвоту, нарушения зрения, нистагм, нарушения памяти, кому и парезы конечностей.Они были разделены на 3 группы:

новообразования, происходящие из клеток эпифиза (опухоли эпифиза, опухоли паренхимы пинеальных желез, папиллярные опухоли, эмбриональные опухоли эпифизов, трехсторонняя ретинобластома),

новообразования (герминогенные карциномы, тератомы, карциномы ворсинок хориона). , герминогенная карцинома, карцинома желточного мешка) ),

поражения различного генеза (астроцитома, липома, меланома).

Гиперфункция шишковидной железы чаще всего приводит к слишком раннему половому созреванию у детей, а гипофункция железы вызвана, в том числе.в на задержку полового созревания.

Как лечить заболевание шишковидной железы?

При гипотиреозе и гиперфункции шишковидной железы очень важно поддерживать циркадный ритм, благодаря чему не будет нарушена выработка мелатонина и серотонина. В некоторых случаях помогает фототерапия.

Обызвествление железы лечится очищением шишковидной железы путем употребления большого количества овощей и фруктов.

Кисты лечат симптоматически (в основном назначают обезболивающие), очень часто киста шишковидной железы исчезает спонтанно.Однако, если он разрастается и давит на соседние структуры, его удаляют хирургическим путем. Опухоли шишковидной железы также удаляются хирургическим путем. Однако эти операции очень сложны из-за небольших размеров железы и близости важных венозных сосудов и ствола мозга. Помимо хирургических вмешательств, при лечении опухолей шишковидной железы применяют химиотерапию и лучевую терапию в зависимости от вида опухоли.

Шишковидная железа - третий глаз

Шишковидная железа вызывает интерес у ученых на протяжении сотен лет, поскольку это единственный необычный элемент мозга, расположенный в самом центре мозга.По этой причине ему приписывалась необыкновенная сила. Рене Декарт, французский философ и математик XVI века, был очарован шишковидной железой. Он считал ее «вместилищем души», то есть местом, где возникают все наши мысли (современные ученые приписывают эту функцию коре нерва). Научные исследования показали, что шишковидная железа также вырабатывает ДМТ, то есть 5-метокси-N, N-диметилтриптамин, который классифицируется как психоактивное вещество. Его высокая концентрация вызывает галлюцинации и ощущения, подобные тем, которые испытывают больные в состоянии клинической смерти (ощущение выхода из тела, неопределенное присутствие светящихся существ, слышание потусторонних звуков, достижение покоя, гармонии и т.). Возможно, по этой причине эзотерики приписывают шишковидной железе необычайную силу - метафизическую связь между физическим и духовным мирами. Они считают его «третьим глазом» — волшебным органом, позволяющим им войти в мир мистики (например, ясновидения). По мнению мистиков, шишковидную железу можно стимулировать медитацией и йогой.
.
Шишко: Польша – лидер устойчивого развития
29 апреля 2016, 12:27 Вы можете прочитать этот текст за 3 минуты
Польша является лидером в области устойчивого развития. В то время как весь развитый мир на самом деле не выполнил свои обязательства по климатической конвенции и Киотскому протоколу, Польша сделала это с определенным профицитом, заявил министр окружающей среды Ян Шишко.

"Мы должны были сократить выбросы CO2 в атмосферу на 6%. в 2008-2012 годах по отношению к базовому году, которым для Польши был 1988 год, и мы сделали это на уровне 32 процентов. и это не было следствием экономического коллапса. В то же время мы добились экономического роста», — подчеркнул министр окружающей среды, проф.Ян Шишко на пресс-конференции в Трчанке (Великопольское воеводство).

«Польские государственные леса также уникальны в мировом масштабе (...) Польское лесное хозяйство является типичным примером устойчивого развития. Мы использовали эти природные ресурсы, и их у нас становится все больше и больше. Мы использовали эти природные ресурсы, они создали рабочее место, и эти ресурсы находятся в идеальном состоянии», — сказал Шишко.

Министр напомнил, что твердая позиция Польши в этом отношении уже была продемонстрирована на Парижской климатической конвенции. «Премьер-министр Беата Шидло сказала об успехах Польши, что Польша — это страна, которая может гордиться своими достижениями. Это дало мне сильный мандат вести переговоры в течение двух недель и показать Польшу как страну успеха, но в то же время как страну, заслуживающую определенного места в мировой климатической политике», — сказал он.

«Польша уникальна в Европейском Союзе также с точки зрения традиционных энергетических ресурсов. Польша имеет почти 90 процентов. каменный уголь всего ЕС и польский уголь, как каменный, так и бурый, должны быть основой и гарантом энергетической безопасности нашей страны (...) имея уголь, в то же время мы сократили выбросы парниковых газов, используя этот энергоноситель и новые технологии», — отметил он.

Он также напомнил, что на территории Региональной дирекции государственных лесов в Пиле в течение 25 лет проводятся постоянные исследования в области управления, то есть использования экологической инженерии в хозяйстве Польских государственных лесов. По его словам, эти исследования были сосредоточены, в частности, на о том, «как использовать CO2 для его поглощения с целью дальнейшего восстановления польских лесов, чтобы они могли производить все больше и больше древесины, что они оказывают все большее положительное влияние на качество воздуха и воды и что это связано с защитой природное биоразнообразие».

На пятничной пресс-конференции также были подведены итоги двухдневной международной встречи, которая прошла со среды в Тучно (Западно-Поморское воеводство) под названием «Роль бореальных лесов в управлении углекислым газом». Во встрече приняли участие 20 специалистов из более чем десятка стран, в том числе из России и США.Конференция также стала одним из первых шагов в усилиях Польши по включению поглощения CO2 почвами и лесами в климатическую политику ЕС.

В ходе конференции также были представлены практические аспекты работы лесных углеродных ферм. Как подчеркнул Конрад Томашевский, генеральный директор Государственных лесов, эта концепция основана на управлении лесным хозяйством таким образом, что за счет посадки определенных пород деревьев или посадки новых в существующих лесах возможности улавливания CO2 из атмосферы увеличиваются.

«На конкретном примере в Тучно мы показали, что существует явление дополнительности, означающее, что леса могут быть вынуждены поглощать больше, чем положено природе. Конкретно речь шла о таких дополнительных мероприятиях, которые заключались в том, чтобы оставить слабый лес без рубки, и посадить под этот слабый буковый лес», — сказал Томашевский.

«Эти побочные действия — не фантасмагория. Эффект от этих действий наступает и его относительно легко можно добиться, изменив модель управления лесами», — добавил он.

Приоритеты такой модели ведения лесного хозяйства предполагают также избегание т.н.полные слои, предотвращая «ускользание» накопленного углерода, который был захвачен растениями в результате фотосинтеза. По расчетам Гослеса, такая экономическая модель позволила бы накопить в польских лесах 40 миллионов тонн углекислого газа в течение 10 лет. Фермы, работающие на лесном угле, также могли бы стать альтернативой технологии УХУ, то есть улавливанию и подземному хранению СО2.

Томашевский подчеркнул, что текущие планы Гослесхоза предполагают первоначальное создание лесоугольных хозяйств в нескольких десятках лесничеств.В этой области также предстоит провести исследования в направлении дополнительной ассимиляции СО2 и превращения его в органический углерод. Программа начнется в 2017 г., а возможная торговля поглощенными выбросами — формально в 2021 г.

Во время конференции в Тучно уже было подписано восемь протоколов о намерениях по этому поводу с субъектами, которым были предоставлены ограничения на выбросы.

Пилотная программа предназначена в первую очередь для компаний и энергетических предприятий. Деньги, полученные от таких аукционов, будут направлены на проэкологические инвестиции, развитие сельских и неурбанизированных территорий, в том числе на создание рабочих мест в сельской местности (PAP)
. .
Клест сосновый - Medianauka.pl

Клест сосновый ( Loxia pytyopsittacus ) — вид воробьиных птиц семейства вьюрковых. От елового клеста отличается более массивным силуэтом тела, крупной головой и толстой шеей. Клюв одинаковой длины и высоты.

Фотографии - галерея

Нажмите на изображение, чтобы увеличить его или просмотреть галерею, слайд-шоу и дополнительные описания фотографий.

© tonymills — stock.adobe.comcom
⤢ УВЕЛИЧИТЬ

Распространение и окружающая среда PL

Гнездится в северной Европе в сосновых лесах. В Польше это птица, которая время от времени пахнет. До 1962 г. в Польше гнездилось лишь несколько особей.

Образ жизни и поведение

Он странствует. В Польше изредка наблюдается в марте и в период с октября по декабрь.

Морфология и анатомия

Длина тела 17-19 см, в том числе хвоста до 6,5 см. Размах крыльев 29 см, масса тела 44-69 г.

Пищевые продукты

Питается в основном семенами сосны и других деревьев. Извлекает их из шишек с помощью приспособленного клюва. Реже питается плодами рябины, черники и насекомыми.

Размножение

Самка откладывает от 2 до 5 яиц в период с февраля по сентябрь. Гнездится на сосне или ели. Инкубация длится 14-16 дней.

Охрана и угрозы LC

Этот вид не находится под угрозой исчезновения. Он имеет статус LC в Красном списке видов, находящихся под угрозой исчезновения.В Польше строго охраняется.

Nature calendar

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Description

● ● ● ● ● ● ● ● The reproduction period of the pine crossbill.

Показать только текущие события

Родственные виды птиц

Какая птица откладывает больше всего яиц?

Все птицы откладывают яйца и насиживают их, чтобы поддерживать непрерывность вида. Какие птицы могут нести их больше всего? Это наши обычные домашние куры или другие птицы?

Сколько птиц в мире?

Птиц больше, чем людей в мире? Сколько видов птиц в мире и сколько в Польше? Какие виды самые многочисленные, а какие редкие?

Самые большие птичьи гнезда

Насколько большим может быть птичье гнездо? Какие птицы являются рекордсменами в этом отношении? Вот краткий обзор рекордсменов среди строителей птичьих гнезд в мире и в Польше.

Чем кормить птиц?

Чем и как правильно кормить птиц, чтобы не навредить им?

Самые маленькие птицы в мире

Какая самая маленькая птица в мире? Какая польская птица самая маленькая?

Самые большие птицы в мире

Какая птица самая большая в мире и какая самая большая в Польше? Какие виды самые тяжелые, имеют самый большой размах крыльев и какие самые высокие?

© медианаука.пл, 2019-05-10, ГАТ-3239

.
семян | БиологПомощь

Kolczurka klapowana ( Echinocystis lobata ) - однолетняя лиана семейства тыквы. Его стебли растут очень быстро и могут достигать 5–6 м в длину. В углах длинные, ветвящиеся, липкие и метельчатые усики вырастают из махровых листьев мужские соцветия. Женские цветки встречаются на одних и тех же особях и также прорастают в пазухах листьев поодиночке или парами. Плод представляет собой зеленый мешочек, покрытый шипами, в котором есть 4 семени.После высыхания мешок легкий и наполнен воздухом, семенами они легко выпадают. Плоды и семена могут двигаться вместе с водой. Кольчуга выделяет в окружающую среду вещества, тормозящие развитие других растений в ее непосредственном окрестности.

Привлекательный внешний вид цветочных серег и характерные плоды пробуждают интерес людей, которые приносят ее в сады. Этот вид обычно встречается в синантропных местообитаниях, откуда достигает берегов ручьев, рек и озер, а также до окраин тугайных лесов.Он обилен во многих местах и может образовывать компакты. колтуны, состоящие из переплетающихся побегов, плотно покрывающих другие растения, что затрудняет их рост.

Kolczurka klapowana является инвазивным видом в Польше и представляет угрозу для местных видов и естественные места обитания. Запрещено вносить его в окружающую среду, а также ввозить взращивая его.

На рисунке фрагмент уховертки с цветами и ее плоды.

По материалам: Б.Судник-Вуйциковска, Синантропные растения , Варшава 2011;
Северная Каролина Бриттон, А. Браун, Иллюстрированная флора северных Соединенных Штатов, Канады и британских владений , Нью-Йорк, 1913 год.

7.1. (0-1)

Закончи предложение. Выберите ответ A или B и ответьте 1., 2. или 3.

Kolczurka klapowana – растение

А. однодомные, и его цветы 1. бисексуальны.

2, двудомные.

Б. раздельнополые,

3, может быть обоеполым или раздельнополым.

7.2. (0-2)

Перечислите из текста две особенности лопастной цепи, которые делают ее победителем конкуренцию с местными видами и определить, как каждая из этих черт определяет высокую конкурентоспособность серьги.

.
Лечебные и косметические свойства хмеля

Полезные свойства хмеля

Хмель стал популярным ингредиентом в пиве, хотя его шишки веками использовались в натуральной медицине и фитотерапии.

Устраняет бессонницу и облегчает засыпание

Бессонница — один из бичей нашего времени, она вызывает у нас раздражительность и сонливость. Длительный недосып может вызвать проблемы со здоровьем, такие как диабет или высокое кровяное давление, а также отразиться на нашей продуктивности на работе.Шишки хмеля в сочетании с валерианой улучшают качество сна. Также стоит пить отвары из хмеля и мелиссы, так как они успокаивают нарушения сна. Оказывается, многие исторические личности, в том числе Авраам Линкольн, использовали шишки хмеля в качестве естественного препарата, помогающего заснуть.

Натуральный рецепт от стресса

Повседневная жизнь полна стрессовых ситуаций - работа, дом, финансовые проблемы, малоподвижный образ жизни, конфликты с окружающими и так далее.Возникающая в результате тревога, особенно долговременная тревога, может негативно сказаться на нашем теле. Одним из натуральных решений, помимо питья настоев мелиссы, также является употребление настоев шишек хмеля, которые являются естественным успокаивающим и антистрессовым средством.

В последние годы мы слышали, что здоровье кишечника имеет первостепенное значение для нашего общего состояния здоровья и благополучия. Поэтому мы должны заботиться о пищеварительной системе, чтобы облегчить ее усвоение питательных веществ, необходимых для организма.Проведенные исследования подтверждают, что стоит использовать настои и экстракты шишек хмеля, поскольку они не только поддерживают пищеварение, но и уменьшают воспаление в желудке. Кроме того, они способствуют похудению за счет содержания горьких кислот, т.е. гумулона и лупулона, которые уничтожают бактерии и микроорганизмы, а также регулируют и снижают аппетит.

Одним из уникальных ингредиентов хмеля является ксантогумол – сильный флавоноид со многими полезными свойствами, который:

предотвращает ожирение,

противораковый,

контролирует расщепление глюкозы в крови,

противодействует сердечно-сосудистым заболеваниям,

противомикробный,

уменьшает воспаление,

защищает кожу, волосы и щитовидную железу от болезней,

является противовирусным.

Однако содержание ксантогумола в пиве само по себе недостаточно, чтобы существенно повлиять на здоровье. Если вы хотите в полной мере воспользоваться его ценными свойствами, стоит обогатить свой рацион настоем из шишек хмеля . Интересно, что древние римляне включали в свой рацион хмель, а в племени чероки его использовали для снятия воспалений.

Как использовать положительные свойства хмеля, не запивая пивом?

Оказывается, дегустация пива со всего мира — не единственный способ насладиться уникальными свойствами хмеля.Так как же использовать цветы хмеля для улучшения самочувствия? Откройте для себя наши проверенные методы!

Продукты питания и безалкогольные напитки

Еще до того, как это растение начинает формировать цветы в виде шишек хмеля, весной из него вырастают молодые побеги, также известные как дикая спаржа. Это одни из самых дорогих овощей в мире, их можно мариновать, запекать, жарить на гриле и добавлять в другие блюда из ризотто. Хотя они очень вкусны, когда обжарены на масле и приправлены солью или голландским соусом.Интересно, что съедобны и молодые листья хмеля, которыми стоит обогатить вкус супов, соусов или салатов.

Свойства шишек хмеля также используются для производства эфирных масел. Цветочное масло хмеля обладает цветочно-пряным ароматом и хорошо сочетается с цитрусовыми или древесными ароматами. Их стоит использовать в ароматерапевтических каминах в качестве натурального ароматизатора, ароматизирующего воздух дома или в офисе. Используемое таким образом масло шишек хмеля действует аналогично настоям, т. е. снижает аппетит, успокаивает и расслабляет, а также, по-видимому, положительно влияет на либидо.

Свежие или сушеные шишки хмеля можно использовать для приготовления хмелевого чая. Настой шишек хмеля содержит ценные антиоксиданты, нейтрализующие действие свободных радикалов в организме, а также обладает антибактериальными, противовирусными и противогрибковыми свойствами. Он регулирует пищеварение, устраняет метеоризм, оказывает мочегонное действие, облегчает симптомы менопаузы, снимает стресс и облегчает засыпание. Восстанавливает гормональный баланс и положительно влияет на кожу. Интересен тот факт, что употребление настоев хмеля положительно влияет на состояние десен.

Хмель как косметическое средство

По словам известного лондонского травника Николаса Калпепера, просто бросьте горсть хмеля в стакан и заварите в горячей воде. Такой настой хмеля очищает организм от бактерий и положительно влияет на кожу – очищает кровь, благодаря чему успокаивает зуд, прыщи и другие кожные проблемы.

Уникальный косметический эффект хмеля делает его ингредиентом косметики. Хмель положительно влияет на кожу и волосы.Они обеспечивают концентрированную дозу антиоксидантов, которые удаляют свободные радикалы и защищают от окислительного стресса. Косметика с экстрактом хмеля улучшает кровообращение и насыщает кожу кислородом. Противовоспалительные свойства хмеля делают его естественным средством от пятен и прыщей.

Хмель как косметическое средство для волос

Наши прабабушки мыли голову пивом. Конечно, причиной было содержание хмеля, так как он усиливает естественное сияние волос.Но это еще не все, ведь экстракт или настой шишек хмеля укрепляет волосы, устраняет перхоть и зуд, отшелушивает омертвевшие клетки эпидермиса и открывает поры кожи головы.

Редакция CalendarRolnikow.pl Заинтересованы в этой статье? У вас есть вопрос к автору? Напишите нам сюда

.
Сосна желтая – выращивание, требования, посадка - Новости садоводства

Сосна желтая - красивое, живописное дерево с рыхлой, конусовидной кроной и длинной хвоей, особенно зимой, когда она покрыта снегом или инеем, привносит в любой сад незабываемый, волшебный эффект.

Описание установки

Сосна желтая ( Pinus ponderosa ) — один из немногих видов так называемыхсосны треххвойные, т. е. такие, у которых иголки собраны в пучки по три. На родине – США создает деревья, вырастающие примерно до 50 м в высоту. В Польше самые высокие деревья этого вида достигают до 30 м в высоту. В молодости их кроны узкоконические и правильные, затем они становятся шире и рыхлее.

Толстые и жесткие побеги - желто-коричневые, иногда даже оранжевые, надломленные, источающие приятный лимонный запах. Для этого вида характерно непостоянное количество хвоинок в пучке, что часто вызывает проблемы с правильной идентификацией вида.Чаще всего в пучке три иглы, но бывают и две, а то и пять!

Вероятно, в культуре имеется также много гибридов, происходящих от очень похожего вида - сосны Джеффри ( P. jeffreyi ), которая отличается от желтой сосны в основном серой или голубоватой хвоей.

Хвоя желтой сосны длинная - до 25 см, толстая, темно-зеленая. Они сохраняются на растениях в течение трех лет. Шишки крупные, до 15 см длиной и 6 см в диаметре, яйцевидной формы, по несколько кустов на побеге.После опадания растения шишки имеют характерные вырванные корни, которые остаются прикрепленными к ветвям деревьев. Кора молодых деревьев серая, а у старых деревьев растрескивается на крупные желто-коричневые пятна.

Рис. Гжегож Фальковски (ZSzP) 9000 3

Требования и выращивание

Желтую сосну определенно легко выращивать. У него очень низкие требования к почве, и он может расти даже на очень сухих, гравийных почвах.Не требует полива даже в засушливые периоды. Как и большинство сосен, она не переносит тени и должна быть высажена на солнечных местах.

Не любит влажный климат, поэтому лучше не сажать его в прибрежной зоне. Он устойчив к загрязнению воздуха, поэтому его можно с успехом высаживать в городах и промышленных районах. Полностью морозостоек в западной и центральной Польше.

В северо-восточной части страны в случае бара

В суровые зимы иногда могут возникать повреждения от заморозков (особенно у гибридов с сосной Джеффри).Эта сосна относится к редко поражаемым болезнями и вредителями видам. Однако следует учитывать нормальное, физиологическое явление постепенного отмирания нижних ветвей и ежегодного опадения старой хвои осенью.

Где посадить?

Сосна желтая типична для одиночных посадок, так как только одиночные деревья могут показать свою истинную красоту. Одиночные посадки также обеспечивают хорошее освещение растений и дольше сохраняют нижние ветви.Это чрезвычайно пластичный вид, который идеально вписывается во все типы садов: от необработанных, модернистских предположений до классических загородных садов.

Благодаря глубокой корневой системе в композиции с соснами целесообразно использовать виды вереска, которые в свою очередь имеют у сосны неглубокие корни и имеют хорошие условия для развития. Кроме того, ежегодно опадающая хвоя закисляет и мульчирует почву, что благоприятствует выращиванию вересковых растений. Трава и осока всегда являются подходящим дополнением к сосне.
Фото на обложке
: Джерри из Форт-Стрит. Джон, Британская Колумбия, Канада / Сосновые шишки / CC BY-SA 2.0 / Ссылка

Подготовлено: Польской ассоциацией питомниководов
Подробнее о растениях и их производителях на e-katalogroslin.pl

.
Смотрите также

Что делать если не работает второй наушник

Линолеум для ванной

Лучшее средство для чистки мебели

Габариты посудомойки встроенной 45 см

Как правильно начать укладывать ламинат

Навес из труб

Противопролежневый матрас с компрессором ячеистый

Какие карнизы сейчас в моде

Банный комплекс на даче

Каролина пеппер

Как сложить полотенце компактно рулоном

Строительство

№ модели	I задание	II задание

	(125/3)π ~ 41,67 π

	(425/9)π ~ 47,22 π
	(539/9)π ~ 59,89 π

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	Description
	●	●	●	●	●	●	●	●				The reproduction period of the pine crossbill.

А.	однодомные,	и его цветы	1.	бисексуальны.
А.	однодомные,		2,	двудомные.
Б.	раздельнополые,		2,	двудомные.
Б.	раздельнополые,		3,	может быть обоеполым или раздельнополым.

Наши регионы

Что является разверткой конуса

Что это - развертка конуса и как ее построить? Формулы и пример решения задачи

Круглый конус в геометрии

Получение фигуры с помощью вращения

Вид развертки конуса

Угол и площадь развертки

Построение развертки конуса на бумаге

Пример решения геометрической задачи

Элементы конуса — урок. Геометрия, 11 класс.

Развертка боковой поверхности. Построение развертки конуса

Развертка прямого кругового конуса

Развертка наклонного конуса

Перенос линии с поверхности конуса на развертку

Развертка усеченного конуса

Цилиндр, конус, шар | Помощь школьникам

Развертки цилиндра и конуса

Площади боковой поверхности цилиндра и конуса

Площадь поверхности шара

Объемы цилиндра, конуса и шара

Усеченный конус. Площадь поверхности усеченного конуса

Найти боковую поверхность конуса. Площадь боковой и полной поверхности конуса

Построение разверток тел вращения | это... Что такое Построение разверток тел вращения?

Построение разверток тел вращения

Основы и инструмент

Построение развёртки цилиндра

Цилиндр

Усечённый цилиндр (рыбина)

Построение развёртки конуса

Конус

Конус с прямоугольным (многогранным) основанием.

Усечённый конус с доступной вершиной

Усечённый конус с переходом с круга на квадрат

Усечённый конус с непараллельными основаниями

Усечённый конус со смещёнными основаниями

Обобщения и замечания

Смотри так же

Сосна обыкновенная | Экономический университет в Катовице

Шишковидная железа - что это такое и каковы ее основные функции? Заболевания, связанные с шишковидной железой.

Что такое шишковидная железа и что она делает?

Шишковидная железа – где она расположена?

Шишковидная железа и производство мелатонина

В чем может быть неисправность шишковидной железы?

Основные заболевания шишковидной железы?

Как лечить заболевание шишковидной железы?

Шишковидная железа - третий глаз

Шишко: Польша – лидер устойчивого развития

Клест сосновый - Medianauka.pl

Фотографии - галерея

Распространение и окружающая среда PL

Образ жизни и поведение

Морфология и анатомия

Пищевые продукты

Размножение

Охрана и угрозы LC

Nature calendar

Родственные виды птиц

семян | БиологПомощь

Лечебные и косметические свойства хмеля

Полезные свойства хмеля

Как использовать положительные свойства хмеля, не запивая пивом?

Хмель как косметическое средство

Хмель как косметическое средство для волос

Сосна желтая – выращивание, требования, посадка - Новости садоводства

Описание установки

Требования и выращивание

Где посадить?

Смотрите также